פתרון בגרות 5 יחידות קיץ 2013 מועד ב׳ – הפקדות בשני בנקיםגדילה ודעיכה 572 · שיעור 23

בגרות 5 יחידות · שאלון 035807 · קיץ 2013 מועד ב׳ · שאלה 4 סעיף ב

שיעור 23 – פתרון בגרות 5 יחידות קיץ 2013 מועד ב׳ – הפקדות בשני בנקים

שאלות בגרות ברמת 5 יחידות

1נוסח השאלה

2שלב א – פי כמה מקדם בנק ב׳ גדול

3שלב ב – מוצאים את הזמן

📄 נוסח השאלה

שאלה 4, סעיף ב (סעיף א של השאלה עוסק בנפח גוף סיבוב, ובשאלון כתוב: "אין קשר בין סעיף א לסעיף ב").

בתאריך 1/1/2005 הופקד בבנק א׳ סכום כסף מסוים, ובאותו תאריך הופקד גם בבנק ב׳ אותו סכום כסף. בכל אחד מהבנקים סכום הכסף שהופקד גדל כל שנה באחוז קבוע.

כעבור 7 שנים היו בבנק א׳ 12,298 שקלים, ובבנק ב׳ היו 13,162 שקלים.

📄 נוסח השאלה · המשך

כעבור כמה שנים מהתאריך 1/1/2005 יהיה בבנק ב׳ סכום כסף הגדול ב־25% מסכום הכסף שיהיה בבנק א׳?

שלב א – פי כמה מקדם בנק ב׳ גדול

נסמן ב־M(0) את הסכום שהופקד (אותו סכום בשני הבנקים). מקדמי הגדילה שונים: q₁ בבנק א׳ ו־q₂ בבנק ב׳.

M(t) = M(0) · q^t

📐 נוסחת גדילה ודעיכה

בנק א׳ – נציב t = 7 ו־M(7) = 12298 :

M(0) · q₁⁷ = 12298

בנק ב׳ – נציב t = 7 ו־M(7) = 13162 :

M(0) · q₂⁷ = 13162

📐 נוסחת גדילה ודעיכה

M(t) = M(0) · q^t

שלב א – פי כמה מקדם בנק ב׳ גדול · המשך

M(0) · q₂⁷ = 13162

יש שתי משוואות ושלושה נעלמים, אבל לא צריך למצוא כל אחד מהם. נחלק את המשוואה של בנק ב׳ במשוואה של בנק א׳, ו־M(0) מצטמצם:

M(0) · q₂⁷M(0) · q₁⁷ = 1316212298

(q₂q₁)⁷ = 1316212298

📐 חילוק חזקות עם אותו מעריך

נסמן k = q₂q₁ – פי כמה המקדם של בנק ב׳ גדול מהמקדם של בנק א׳:

k⁷ = 1316212298

📐 חילוק חזקות עם אותו מעריך

aⁿbⁿ = (ab)ⁿ

שלב א – פי כמה מקדם בנק ב׳ גדול · המשך

k⁷ = 1316212298

k = ⁷√1316212298 ≈ 1.00975

📐 שורש מסדר גבוה

במחשבון שומרים את הערך המדויק של k ולא מעגלים אותו – הוא ישמש אותנו בהמשך.

✅ פתרון סופי: k = ⁷√1316212298 ≈ 1.00975

📐 שורש מסדר גבוה

xⁿ = a ⇒ x = ⁿ√a

שלב ב – מוצאים את הזמן

אחרי t שנים: בבנק א׳ יש M(0) · q₁^t ובבנק ב׳ יש M(0) · q₂^t .

נסמן A – הסכום בבנק א׳, B – הסכום בבנק ב׳. סכום הגדול ב־25% הוא פי 1.25:

B = 1.25 · A

📐 גדול ב־p אחוזים

נציב את שני הסכומים:

M(0) · q₂^t = 1.25 · M(0) · q₁^t

נחלק את שני האגפים ב־M(0) · q₁^t :

📐 גדול ב־p אחוזים

B = (1 + p100) · A

שלב ב – מוצאים את הזמן · המשך

נחלק את שני האגפים ב־M(0) · q₁^t :

(q₂q₁)^t = 1.25

נציב k = q₂q₁ :

k^t = 1.25

הנעלם t נמצא בחזקה:

t = ln 1.25ln k

📐 כשהנעלם בחזקה

a^x = b ⇒ x = ln bln a

שלב ב – מוצאים את הזמן · המשך

t = ln 1.25ln k

📐 כשהנעלם בחזקה

נציב את הערך המדויק של k מהזיכרון של המחשבון:

t = ln 1.25ln 1.00975 ≈ 23.01

כלומר כעבור כ־23 שנים מ־1/1/2005, כלומר בשנת 2028.

בדיקה בדרך אחרת (בלי לעגל את k):

מ־k⁷ = 1316212298 יוצא 7 · ln k = ln 1316212298 , ולכן:

📐 כשהנעלם בחזקה

a^x = b ⇒ x = ln bln a

שלב ב – מוצאים את הזמן · המשך

מ־k⁷ = 1316212298 יוצא 7 · ln k = ln 1316212298 , ולכן:

t = 7 · ln 1.25ln 1316212298

t ≈ 1.562000.067897 ≈ 23.01

✅ פתרון סופי: כעבור t ≈ 23.01 שנים, כלומר בערך 23 שנים

📌 סיכום התשובות

תשובה

כעבור t ≈ 23.01 שנים (בערך 23 שנים)

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא